Números capicúa, primos y primos gemelos
IulenIB @datacy
lunes, 28 de febrero de 2022
0. Datos del estudio
Vamos a reflexionar sobre los números que nos rodean y que tanto utilizamos en nuestro día a día: matrículas, teléfonos, precios, lotería, autobús, horas, fechas, etc. Números capicúa, números primos, números primos gemelos… No os asustéis.
Para ilustrar los conceptos, he “jugado” con el primer millón de números: desde el 1 hasta el 1.000.000.
1. Números capicúa
Un número capicúa (del catalán cap i cua, “cabeza y cola”) es aquel número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo: 161, 292, 3003, 5005, 91019 o 22022022.
¿Cuántos números capicúa tenemos en el primer millón de números?
1.998 (0,2%); 1 de cada 501 números.
Como véis, muy pocos números tienen el privilegio de ser capicúa. Son estos que podéis ver en la siguiente tabla:
1.1. Cantidad de capicúas por número de dígitos
El reparto de los 1.998 números capicúa presentes entre el primer millón de números en función del número de dígitos que los componen es el siguiente:
| digitos | capicua | numeros | prop |
|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 9 | 100,0% |
| 2 | 9 | 90 | 10,0% |
| 3 | 90 | 900 | 10,0% |
| 4 | 90 | 9000 | 1,0% |
| 5 | 900 | 90000 | 1,0% |
| 6 | 900 | 900000 | 0,1% |
1.2. La distancia entre los números capicúa
La distancia entre dos números capicúa consecutivos es la diferencia entre dos números capicúa consecutivos. Consecutivos en el sentido de que entre el 22 y el 33 no hay ningún número capicúa. Por ejemplo: el 22 y el 33 son dos números capicúa consecutivos y, entre ambos, hay una distancia de 11.
El distancia media de los 1.998 números capicúa presentes entre el primer millón de números en función del número de dígitos que los componen es el siguiente:
| digitos | capicua | dist_media |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 0.8888889 |
| 2 | 9 | 10.0000000 |
| 3 | 90 | 10.0000000 |
| 4 | 90 | 100.0000000 |
| 5 | 900 | 100.0000000 |
| 6 | 900 | 1000.0000000 |
En este mes de febrero hemos tenido dos fechas asimilables a números capiucúa. El 2 de febrero (escribiendo el día y el mes con un solo dígito y el año con dos dígitos). Obtenemos el número 2.222.
El capicúa número 121.
También podría ser capicúa el 22 de febrero (escribiendo el mes con un solo dígito y el año con dos dígitos). btenemos el número 22.222.
El capicúa número 321.
También podría ser capicúa el 22 de febrero (escribiendo el mes con dos dígitos y el año con cuatro dígitos). obtenemos el número 22.022.022. Se queda fuera de nuestro estudio del primer millón de números.
No tendremos que esperar mucho hasta ver una nueva fecha capicúa. Al ser un año capicúa (expresado en dos dígitos), en todos los meses de un dígito (enero-septiembre) gozar de fechas capicúa: 22 de marzo; 22 de abril; 22 de mayo; 22 de junio; 22 de julio; 22 de agosto; 22 de septiembre. Y 22 de noviembre, claro (por ser mes capicúa).
1.3. ¿Qué pasa con las matrículas?
En las matrículas tenemos numeración hasta desde el 0000 hasta el 9.999 y. El hecho de que completemos los números con 0 por la izquierda hasta completar 4 dígitos, reduce el número de capicúas. Ejemplo: el 22, que es un número capicúa, en una matrícula es el 0022, no capicúa. Para cada terna de letras, tendremos:
99 (0,99%); 1 de cada 101 números.
A partir de ahora, cuando vayais aburridos en el coche (sin conducir, claro), podéis buscar matrículas capicúa.
2. Números primos
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1. Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.. Por ejemplo: 3, 5, 7, 11 o 97.
¿Cuántos números capicúa tenemos en el primer millón de números?
78.498 (7,85%); 1 de cada 13 números.
Como véis, muy pocos números tienen el privilegio de ser primos. Son estos que podéis ver en la siguiente tabla:
2.1. Cantidad de primos por número de dígitos
El reparto de los 78.498 números primos presentes entre el primer millón de números en función del número de dígitos que los componen es el siguiente:
| digitos | primos | numeros | prop |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 9 | 44,44% |
| 2 | 21 | 90 | 23,33% |
| 3 | 143 | 900 | 15,89% |
| 4 | 1061 | 9000 | 11,79% |
| 5 | 8363 | 90000 | 9,29% |
| 6 | 68906 | 900000 | 7,66% |
2.2. La distancia entre los números primos
La distancia entre dos números primos consecutivos es la diferencia entre dos números primos consecutivos. Consecutivos en el sentido de que entre el 7 y el 11 no hay ningún número primo. Por ejemplo: el 7 y el 11 son dos números primos consecutivos y, entre ambos, hay una distancia de 4.
El distancia media de los 1.998 números capicúa presentes entre el primer millón de números en función del número de dígitos que los componen es el siguiente:
| digitos | primos | dist_media |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 0.8888889 |
| 2 | 9 | 10.0000000 |
| 3 | 90 | 10.0000000 |
| 4 | 90 | 100.0000000 |
| 5 | 900 | 100.0000000 |
| 6 | 900 | 1000.0000000 |
2.3. Los extremos
Los dos números primos más alejados (de entre el primer millón de números) son:
492.113 y el 492.227, con una distancia de 114
3. Números capicúa y primos
¿Cuántos números capicúa y primos tenemos en el primer millón de números?
113 (0,01%); 1 de cada 8.850 números.
Como véis, muy muy pocos números tienen el privilegio de ser capicúa y primos al mismo tiempo. Son estos que podéis ver en la siguiente tabla:
3.1. Cantidad de capicúas y primos por número de dígitos
El reparto de los 113 números capicúa presentes entre el primer millón de números en función del número de dígitos que los componen es el siguiente:
| digitos | capicua_primo | numeros | prop |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 9 | 44,44% |
| 2 | 1 | 90 | 1,11% |
| 3 | 15 | 900 | 1,67% |
| 5 | 93 | 90000 | 0,10% |
3.2. La distancia entre los números capicúa y primos
La distancia entre dos números capicúa y primos consecutivos es la diferencia entre dos números capicúa y primos consecutivos. Consecutivos en el sentido de que entre el 11 y el 101 no hay ningún número capicúa y primo. Por ejemplo: el 11 y el 101 son dos números capicúa y primos consecutivos y, entre ambos, hay una distancia de 90.
El distancia media de los 113 números capicúa y primos presentes entre el primer millón de números en función del número de dígitos que los componen es el siguiente:
| digitos | capicua_primo | dist_media |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 1.666667 |
| 2 | 1 | 4.000000 |
| 3 | 15 | 61.200000 |
| 5 | 93 | 1051.182796 |
En este mes de febrero hemos tenido dos fechas asimilables a números capiucúa.
4. Números primos gemelos
Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Esto es, si entre ambos hay un número no primo (y par). Así pues, los números primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. de la misma forma que lo hacen las parejas 11 y 13 o 41 y 43.
¿Cuántas parejas de primos gemelos tenemos en el primer millón de números?
8.169 (0,82%); 1 de cada 122 números.
Como véis, muy pocos números tienen el privilegio de ser primos gemelos. Son estos que podéis ver en la siguiente tabla:
4.1. La distancia entre los números primos gemelos
La distancia entre dos números primos gemelos consecutivos es la diferencia entre dos números primos consecutivos. Consecutivos en el sentido de que entre el 7 y el 11 no hay ningún número primo. Por ejemplo: el 7 y el 11 son dos números primos consecutivos y, entre ambos, hay una distancia de 4.
El distancia media entre las 8.169 parejas de números primos gemelos va aumentando a medida que vamos avanzando como podemos ver en el siguiente gráfico:
Las parejas de numeros primos gemelos están cada vez más alejasdas unas de otras. Me permito recomendaros la preciosa novela de Paolo Giordano “La soledad de los números primos”.
5. Números capicúa y primos gemelos
¿Cuántos números capicúa y primos gemelos tenemos en el primer millón de números?
40 (0,004%); 1 de cada 25.000 números.
Como véis, muy muy pocos números tienen el privilegio de ser capicúa y primos gemelos al mismo tiempo. Son estos que podéis ver en la siguiente tabla:
6. ¿Para qué sirven los números primos?
Después de todo este rollo, seguro que no os he convencido de lo bonitos (y escasos) que son los números primos.
En primer lugar, los números primos sirven para asentar las bases de cualquier número. Según el Teorema Fundamental de la Aritmética: “cualquier número se descompone en un producto único de números primos”.
De una forma más práctica: Al coger dos números primos muy muy grandes y multiplicarlos, se obtiene otro número. Pero para poder deducir de qué números provenían, de forma inversa, la tarea se vuelve casi imposible. Esta es la base de la criptografía. Los grandes números primos y este sistema de seguridad es usado por los bancos en los números secretos, las transferencias bancarias y otras operaciones. También se emplean en la comunicación segura de muchas operaciones telemáticas, en Internet.
Esto os debe interesar ya que cada día (según datos de 2019), realizamos 244 billones de transacciones bancarias en el mundo.
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